PERMUTACIONES U ORDENACIONES CON REPETICION

A continuación les mostraremos un video en donde, se explica de manera clave y concisa el tema de permutación: Video

Ejemplo:

• Tenemos 10 pares de calcetines, los cuales, tres pares son blancos y 7 son negros. ¿Cuántas combinaciones podemos hacer?

nPabc= (10!)/(3!*7!)= 120

Leonor Ferrer

PERMUTACIONES U ORDENACIONES SIN REPETICION

LA OPERACIÓN FACTORIAL

El factorial de un entero positivo n, el factorial de n o n factorial se define en principio como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n.
Por ejemplo: 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION Y ADICCION DEL CONTEO

Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras, y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede ocurrir de n2 maneras diferentes, entonces el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2.

Ejemplo: ¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?  Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras distintas de repartir los tres premios. 

n1 x n2 x n3

10 x 9 x 8 = 720

Principio de la suma: Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación puede realizarse de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de m + n maneras.

Ej: Tenemos tres diferentes lugares para comer pizza; dos para hamburguesa y cuatro para pollo. ¿A cuántos diferentes lugares podemos ir a almorzar? 

Solución: 3 + 2 + 4 = 9 diferentes lugares.

CONTEO Y ESPACIO MUESTRAL

Espacio muestral: se le llama al conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio. Sus elementos se representan por letras minúsculas (w1,w2,...) y se denominan eventos o sucesos elementales. Los subconjuntos de Ω se designan por medio de letras mayúsculas (A, B, C, D,...) y se denominan eventos o sucesos. Los sucesos representan los posibles resultados del experimento aleatorio

Ejemplo:: Ejemplo: Lanzar dos monedas : el espacio de muestreo es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)} 

Técnicas de conteo: Las técnicas de conteo o métodos de conteo son estrategias utilizadas para determinar el número de posibilidades diferentes que existen al realizar un experimento. Las tres técnicas de conteo son: Permutaciones Diagrama de árbol Combinaciones

Permutaciones : Son todas las posibles combinaciones de un experimento pero sin repetir ningún dato Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3} Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1". 

Diagrama de árbol: Diagrama de árbol Un diagrama de árbol es una representación gráfica que muestra los resultados posibles de una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades; consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

Combinaciones: Combinaciones Son todos los posibles resultados que se pueden obtener en un experimento

TEORÍA DE CONTEO

En esta unidad se desarrollan métodos para determinar sin tener que numerar directamente el número de resultados posibles de un experimento particular o el número de los elementos de un conjunto en particular, también se le conoce como análisis combinatorio.

Nos sirve para determinar sin enumerar directamente el número de resultados posibles de un experimento particular o el número de elementos de un conjunto particular.

Muestra 2.0

MUESTRA

Definición:

Una muestra es un subconjunto de casos o individuos de una población estadística. Es necesario que esta muestra sea representativa del caso que se está analizando y para ello debe escogerse una técnica adecuada de selección y dependiendo del grado de sesgo que presente esta puede ser más exacta o no 

Las muestras se obtienen con la intención de inferir propiedades de la totalidad de la población, para lo cual deben ser representativas de la misma (una muestra representativa se denomina técnicamente muestra aleatoria).

TIPOS DE VARIABLES 2.0

¿Qué es una variable?

es una propiedad que puede fluctuar y cuya variación es susceptible de adoptar diferentes valores

Existen diferentes tipos de variables; las más consultadas en este caso serían:

VARIABLE CUALITATIVA

Son el tipo de variables que como su nombre lo indica expresan distintas cualidades, características o modalidad. Cada modalidad que se presenta se denomina atributo o categoría, y la medición consiste en una clasificación de dichos atributos. No pueden medirse con números

Ejem: Los colores que prefiere un grupo de individuos 

VARIABLE CUANTITATIVA

Son las variables que toman como argumento cantidades numéricas, por lo tanto son variables matemáticas, estas últimas se dividen en dos grupos principales:

VARIABLE DISCRETA:

Es la variable que presenta separaciones o interrupciones en la escala de valores que puede tomar. lo cual significa que esta sólo puede adquirir números enteros ejem:

Cantidad de hijos: 1, 2, 3, 4...

VARIABLE CONTINUA:

Es la variable que puede adquirir cualquier valor dentro de un intervalo especificado de valores. Esto significa que su valor puede no incluir números enteros exclusivamente ejem:

Altura de ciertos individuos: 1.65m, 1.75m, 1.54m, 1.90m 

TABLAS Y GRÁFICAS

TABLAS Y GRÁFICAS

°Los datos sin procesar son "Datos no agrupados"

°Los datos organizados son "Datos agrupados"

°Las distribuciones son de intervalos y frecuencias de clase

Para ordenar los datos se deben seguir los siguientes pasos:

Paso 1

°Calcular el número de clases

°Seleccionar entre 5 y 15 clases

°Elegir número impar de clases

Calcular con la siguiente ecuación:

K= √n

°n= Número de muestras

Paso 2

°Calcular el intervalo utilizando la siguiente ecuación:

i= (Xmas + 1 -Xmin / 2)

Paso 3 

 Construir la tabla de distribución de frecuencia

 

Paso 4

Determinar el límite superior y el límite inferior 

(Li-Ls)

Paso 5

Determinar la frecuencia de intervalos

(Fi)

Paso 6

Determinar la frecuencia absoluta

(Fa)

Paso 7

Delimitar la frecuencia relativa mediante la sig, ecuación:

Fr= Fa/n

Paso 8

Determinar la marca de clases mediante la sig ecuación:

Mi= Li+Ls/2

Paso 9

Hacer la multiplicación de Frecuencia de intervalo por Marca de clases.

(Fi*Mi)

Paso 10

Sacar el logaritmo de la marca de clases, logaritmo inverso.

(Log Mi)

Paso 11

Multiplicación de Frecuencia de intervalo por el resultado del logaritmo de la marca de clases

(Fi*Log Mi)

TIPOS DE GRÁFICAS

Tipos de Gráficas

A continuación, redactaremos algunas tipos de gráficas:

• Pirámide de población : Una pirámide de población es un histograma bi-direccional que muestra la estructura demográfica de una población, por sexo y edad, en un momento determinado. 

• Pirámide de población progresiva: Existe un alto porcentaje de población joven que va desapareciendo según avanzan las edades. Son típicas de países subdesarrollados cuya esperanza de vida es baja y la tasa de natalidad alta.

• Pirámide de población regresiva: En la base existe menos población que en el medio y la población envejecida es considerable. Son típicas de países desarrollados cuya natalidad está descendiendo y la esperanza de vida es alta. 

• Pirámide de población estancada: Los tramos intermedios de edades tienen la misma población que la base. Son típicas de países en vías de desarrollo donde se ha controlado la mortalidad y se empieza a controlar la natalidad.

• Gráfico de líneas:Un gráfico de líneas es una representación gráfica en un eje cartesiano de la relación que existe entre dos variables reflejando con claridad los cambios producidos.

• Gráfico de Pareto: Es un tipo de gráfico de barras vertical ordenado por frecuencias de forma descendente que identifica y da un orden de prioridad a los datos.

• Gráfico de sectores: Es una representación circular de las frecuencias relativas de una variable cualitativa o discreta que permite, de una manera sencilla y rápida, su comparación.

• Pictograma: Un pictograma es un gráfico que representa mediante figuras o símbolos las frecuencias de una variable cualitativa o discreta. Al igual que los gráficos de barras suelen usarse para comparar magnitudes o ver la evolución en el tiempo de una categoría concreta.

• Gráfico de dispersión: Un gráfico de dispersión muestra en un eje cartesiano la relación que existe entre dos variables.

• Gráfico de dispersión correlación lineal: Existe una relación lineal negativa si al aumentar los valores de la variable independiente disminuyen los valores de la variable dependiente y relación lineal positiva si al aumentar los valores de la variable independiente aumentan los valores de la variable dependiente.

• Gráfico de dispersión correlación no lineal: Existe una relación entre las variables pero no es lineal.

• Gráfico de dispersión correlación nula: No existe ninguna relación entre las variables. Se dice que ambas son independientes.

• Cartograma: Es un mapa en el que se presentan datos estadísticos por regiones bien poniendo el número o coloreando las distintas zonas en función del dato que representan.

TABLAS Y GRÁFICAS

EJEMPLOS DE TIPOS DE VARIABLES, MUESTRA Y POBLACIÓN

TIPOS DE VARIABLES

MUESTRA

PROBABILIDAD

Es de gran utilidad para analizar situaciones en las que interfiere el azar.

ESTADÍSTICA INFERENCIAL

Si un investigador reúne datos de muestra y utiliza la estadística generada para llegar a conclusiones acerca de la población de la cual se toma la muestra, es estadística es inferencial.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Conjunto de métodos para organizar, resumir y presentar datos de manera informativa. 

EVALUACIÓN DIAGNOSTICA

EVALUACIÓN DIAGNOSTICA 

 1. RAMA DE LAS MATEMÁTICAS QUÉ ESTUDIA LOS NÚMEROS CONCRETOS Y SUS OPERACIONES BÁSICAS. 

ARITMÉTICA 

 2.DISCIPLINA DE LAS MATEMÁTICAS QUE ESTUDIA LAS FORMAS Y SUS PROPIEDADES.

 GEOMETRÍA 

 3. ¿EN QUE PARTE DE LAS MATEMÁTICAS SE UTILIZAN MÉTODOS DE RECOLECCIÓN, DESCRIPCIÓN, VISUALIZACIÓN Y RESUMEN DE DATOS ORIGINADOS A PARTIR DEL ESTUDIO DE POBLACIONES? 

ESTADÍSTICA 

 4. GENERALIZAR LOS PROCESOS ARITMÉTICOS ES EL PRINCIPAL OBJETIVO DE ESTA RAMA DE LAS MATEMÁTICAS.

 ÁLGEBRA 

 5. ¿CUÁL DE LAS OPCIONES MUESTRA UNA MEDIDA DE TENDENCIA CENTRAL? MODA 

 6.¿CUÁL DE LAS OPCIONES MUESTRA UNA MEDIDA DE DISPERSIÓN?

VARIANZA 

 7. SINÓNIMO DE MEDIA ARITMÉTICA

 PROMEDIO 

 8. DADO UN CONJUNTO DE VALORES ORDENADOS EN FORMA ASCENDENTE, ¿CÓMO SE CONOCE AL VALOR QUE SE ENCUENTRA A LA MITAD DE ELLOS? 

MEDIANA 

 9. NOMBRE QUE RECIBE TODA COLECCIÓN DE OBJETOS O PERSONAS QUE REÚNEN CIERTA PROPIEDAD. 

POBLACIÓN 

 10. LAS CALIFICACIONES DE UN ALUMNO EN EL SEMESTRE ANTERIOR SON 7,9,7,8,6,6,9,7,8,9. ¿CUÁL ES EL PROMEDIO? 

7.6 

 11. SE PREGUNTO A 18 PERSONAS DE UN GRUPO DE 60, SOBRE SU DEPORTE FAVORITO. ¿QUÉ SON A LAS 18 PERSONAS RESPECTO DEL GRUPO DE 60? 

MUESTRA 

 12. UNA VARIABLE DISCRETA, ADEMÁS DEL CERO, ES AQUELLA QUE PUEDE TOMAR VALORES DE NÚMEROS: 

RACIONALES 

 13. NOMBRE QUE RECIBE EL INSTRUMENTO UTILIZADO PARA RECABAR DATOS DE CIERTO TEMA. 

ENCUESTA 

 14. CUANDO NO ES POSIBLE INDAGAR CIERTO TEMA EN TODA LA POBLACIÓN SE TOMA UNA PARTE DE ELLA, ¿CÓMO SE CONOCE A ESA PARTE? 

MUESTRA 

 15. EN MÉXICO, CADA 10 AÑOS, SE OBTIENE UN PANORAMA GENERAL DE LA SITUACIÓN SOCIAL, ECONÓMICA Y POLÍTICA, MEDIANTE UNA ENCUESTA NACIONAL. ¿QUÉ NOMBRE RECIBE ESTA ENCUESTA? 

CENSO

MUESTRA

Es un porcentaje de toda nuestra población. 

Las muestras se obtienen con la intención de inferir propiedades de la totalidad de la población, para lo cual deben ser representativas de la misma (una muestra representativa se denomina técnicamentemuestra aleatoria).

EJEMPLOS DE ESTADÍSTICAS

Estadísticas

Ejemplos de estadísticas:

Estados Unidos

• En 2016, se estima que serán diagnosticados 1 685 210 casos nuevos de cáncer en Estados Unidos y 595 690 personas morirán por la enfermedad.
• En 2014, se estimó que 15 780 niños y adolescentes de 0 a 19 años de edad recibieron un diagnóstico de cáncer y 1960 murieron por la enfermedad.
• Los gastos nacionales dedicados a la atención del cáncer en Estados Unidos tuvieron un total casi de USD 125 mil millones en 2010 y podrían alcanzar los USD 156 mil millones para 2020.

México

• La esperanza de vida de los mexicanos al nacer es de 74 años para mujeres, y 71 años para hombres. 
• La economía mexicana continuó expandiéndose a una tasa de crecimiento anual moderada de 2,5 por ciento en 2015.
• El peso perdió casi el 30 por ciento de su valor respecto al dólar estadounidense, pero el efecto de traslado a los precios domésticos aún no se ha manifestado dado que la inflación anual se ha estado moviendo por debajo de la meta de 3 por ciento del Banco de México. 
• A pesar de un descenso en el ingreso petrolero de alrededor de 2 por ciento del PIB, el sector público logró cumplir con sus objetivos de déficit fiscal para 2015, como estaba planeado.

África

• Según una encuesta realizada en 18 países del África subsahariana, las personas en edad de votar que habían cursado estudios primarios se manifestaron 1,5 veces más proclives a apoyar la democracia que quienes no habían recibido instrucción primaria y ese grado de apoyo se duplicó entre los votantes que habían completado la enseñanza secundaria.
• En esas regiones, 3,4 millones de jóvenes tienen su primer hijo antes de cumplir los 17 años. Si todas las muchachas completaran la enseñanza primaria, el número de partos precoces disminuiría en 340.000 y si todas completaran los estudios secundarios, habría dos millones menos de esos nacimientos.  

Mundial

• Si todos los niños tuvieran el mismo acceso a la enseñanza, el ingreso per cápita aumentaría un 23% en los próximos 40 años
• Si todas las mujeres cursaran la educación primaria, los matrimonios precoces y la mortalidad infantil podrían disminuir a una sexta parte y la mortalidad materna a dos tercios.

POBLACIÓN

Definición de Población 

Es la colección de datos que corresponde a las características de  la totalidad de individuos, objetos, cosas o valores en un proceso de investigación.

Ejemplos:

•  Estudiantes del Bachillerato de la Universidad del Valle de Puebla.
• Los celulares de la ciudad de Puebla.
• Los perros de la Colonia de San Baltazar.

Tipos de Poblaciones

• Población Finita: Es el conjunto compuesto por una cantidad limitada de elementos, como el número de especies, el número de estudiantes, el número de obreros.

• Población Infinita: Es la que tiene un número extremadamente grande de componentes, como el conjunto de especies que tiene el reino animal.

• Población Real: Es todo el grupo de elementos concretos, como las personas que en Europa se dedican a actividades artísticas o los perros de raza pitbull de la ciudad de México.

• Población Hipotética: Es el conjunto de situaciones posibles imaginables en que puede presentarse un suceso, como por ejemplo las formas de reaccionar de una persona ante una catástrofe.

DEFINICIONES DE ESTADÍSTICA

Estadística

• Ciencia que se refiere a la acumulación, análisis, interpretación y presentación de datos numéricos.
• Es la ciencia que se ocupa de recolectar, organizar, presentar, analizar e interpretar datos para ayudar a una toma de decisiones más efectivo.
• Estudia los métodos científicos para recoger, organizar, resumir y analizar datos, así como, para sacar conclusiones válidas y tomar decisiones razonables basadas en tal análisis.